Räkna med PQ-formeln

PQ-formeln är en formel som kan användas för att lösa vilken andragradsekvation som helst. Formeln fungerar som ett samband mellan koefficienterna framför andragradsekvationernas komponenter och dess rötter.

En godtycklig andragradsekvation kan skrivas på detta sätt

$$ ax^2+bx+c=0 $$

För att lösa den med hjälp av PQ-formeln behöver man först och främst få \(x^2\)-termen ensam, vilket innebär att koefficienten \(a\) måste divideras bort

$$ x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a} $$

Därefter förenklar vi genom att ansätta två nya konstanter

$$ p = \frac{b}{a}, ~ q = \frac{c}{a} $$

Vi kan då skriva andragradsekvationen som

$$ x^2+px+c=0 $$

Nu kan vi använda PQ-formeln, som säger att rötterna till ekvationen ovan är lika med

$$ x = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} $$

Eller om vi skriver ut båda rötterna i klartext

$$ x_1 = -\frac{p}{2} + \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}\\ x_2 = -\frac{p}{2} - \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} $$

Reella eller komplexa rötter

Ur ovanstående kan även ses att rötterna till en andragradsekvation är endast reella för

$$ (\frac{p}{2})^2 - q \geqslant 0 $$

I övriga fall är rötterna till andragradsekvationen komplexa och uttrycks med talet \(i\).


Verktyg för att räkna med PQ-formeln

Använd vårt verktyg här nedan för att snabbt och enkelt räkna en andragradsekvation med hjälp av PQ-formeln. Ange bara koefficienterna framför andragradsekvationens komponenter:

$$ ax^2+bx+c = 0 $$